derivadas

derivadas

derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño.

Formulas de derivadas

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de función afín

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

Derivada de suma

Derivada de de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de constante partida por una función

Derivada de un cociente

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Derivada de un logaritmo

Derivada de un logaritmo neperiano

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada del arcocosecante la función potencial-exponencial

Regla de la cadena

Fórmula de derivada implícita

 

ejemplos

si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

LIMITES

Limites


Es una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.- Al explicar la definición de límite se utilizaron

sin mención formal, algunas propiedades fundamentales de la noción de los

límites; una relación de las mismas se presenta a continuación.

1.- Si “c” es una constante, el límite de de “c” cuando “x” tiende a “a”, es igual a

“c”.

Existen varios casos para calcular el límite de una función; en los ejemplos

anteriores se ha aplicado el primer caso que establece:

CASO I.- Sí la función dada, está totalmente simplificada, se sustituye

directamente el valor a que tiende la variable independiente en la función, dando

ligar al límite buscado.

Al ir aplicando las propiedades de los límites en la determinación del límite de

funciones se ha observado que al sustituir directamente la variable independiente

de la función, por el valor a que tiende dicha variable, se encuentra el límite de la

función. ejemplos:

FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO (0 / 0)

Al calcular el límite de un cociente, se ha observado que:

a).- Sí el numerador y el denominador tienen límite distinto de cero, el límite del

cociente es igual al cociente de los límites.

b).- Sí el límite del numerador es cero y el del denominador es diferente de cero,

el límite del cociente es igual a cero.

c).- Sí el límite del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, el

cociente no tiene límite y se establece que tiende a más o menos infinito ( ± ∞ ),

según el caso.

d).- Sí los límites del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, se

tiene la forma (0 / 0), que se denomina indeterminada ya que cualquier valor

numérico que se ponga como cociente cumple con la condición de que

multiplicado por el divisor da lugar al dividendo.

La indeterminación se puede eliminar mediante operaciones algebraicas

sencillas, por ejemplo:

FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO (0 / 0)

Al calcular el límite de un cociente, se ha observado que:

a).- Sí el numerador y el denominador tienen límite distinto de cero, el límite del

cociente es igual al cociente de los límites.

b).- Sí el límite del numerador es cero y el del denominador es diferente de cero,

el límite del cociente es igual a cero.

c).- Sí el límite del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, el

cociente no tiene límite y se establece que tiende a más o menos infinito ( ± ∞ ),

según el caso.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d).- Sí los límites del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, se

tiene la forma (0 / 0), que se denomina indeterminada ya que cualquier valor

numérico que se ponga como cociente cumple con la condición de que

multiplicado por el divisor da lugar al dividendo.

La indeterminación se puede eliminar mediante operaciones algebraicas

sencillas, por ejemplo:

 

 

 

 

CASO III.- Para calcular el límite de una función dada, es necesario simplificarla

mediante la racionalización del numerador o del denominador, antes de sustituir

el valor de la variable independiente directamente en la expresión, ya que el no

hacerlo, da lugar a la indeterminación (0, 0)

 

 

 

 

Uno de los límites más importantes en el estudio del cálculo diferencial para

cualquier función se determina por la fórmula:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

operaciones

Operaciones con funciones biyectiva sobreyectiba y inyectiva

Con darte 3 funciones biyectivas seria suficiente, ya que las 3 serian inyectivas y sobreyectivas, pero para complicar:

f: X->Y

Inyectivas:
X = R+ (reales positivos)
Y = R
f(x) = x + 1
Entonces toda imagen tiene una unica preimagen. O sea y1 = y2 sii x1 = x2.

X = R+
Y = R
f(x) = x^2 + 1

X = R+
Y = R
f(x) = e^x + 1

Sobreyectivas:
X = R
Y = R+
f(x) = |x|
Toda imagen es "alcanzada".

X = R
Y = N
f(x) = e^x

X = R
Y = R+
f(x) = |log(x)|

Y biyectivas pueden ser:

X = R
Y = R
f(x) = x

X = R
Y = R
f(x) = x^3

X = R
Y = R
f(x) = log(x)

Clasificacion de las funciones Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

"Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una función.

Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":

"Injectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").
"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).
"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

Definiciones formales

Inyectivo

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x² del conjunto de los números naturales a es una función inyectiva.
(Pero f(x) = x² no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo

• f(2) = 4 y
• f(-2) = 4)

Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva.

Sobreyectivo (o también "epiyectivo")

Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.
Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.

Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales al de los números pares no negativos es sobreyectiva.
Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales a no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función.

Biyectiva

Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y
Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: La función f(x) = x² del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.
(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo

• f(2)=4 y
• f(-2)=4)

Dominio y contradominio

Dominio y contradominio

 

los ( sirven para denotar intervalos de numeros, y significa que el conjunto está abierto por ese lado por ejemplo el conjunto (3,5) es abierto por los dos lados, es decir se consideran todos los numeros reales que esten entre 3 y 5 pero sin tomar el 3 y el 5, otra notacion para el mismo conjunto es ]3,5[. Si los consideras seria [3,5].

el signo { sirve para denotar conjuntos númericos finitos. Por ejemplo {3,5} significa que el conjuntos solo tiene como elementos al 3 y al 5.

Todo depende del conjunto en el cual estas trabajando. Por ejemplo si trabajas en los enteros el intervalo [3,5] tiene como elementos al 3,4 y 5. ahora si estas trabajando en los numeros reales el intervalo [3,5] tiene infinitos elementos, algunos son el 3, 3.1,3.2,3,797898798, etc.


conclusion: {a,b} es distinto a [a,b]

[a,b] son todos los numeros que estan entre a y b incluyendo a y b.

[a,b) ó [a,b[ son todos los numeros que estan entre a y b excluyendo b

{a,b} tiene 2 elementos, a y b.

 

 

Intervalo

                                                    Intervalo

 Es una porción de recta con ciertas características.

Los intervalos se determinan sobre la recta real y, por tanto, se corresponden con conjuntos de números. Pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos.

Un intervalo cerrado es un segmento, AB, en el que se incluyen los extremos. Si las abscisas de los puntos A y B son respectivamente a y b, el intervalo cerrado se designa [a, b] y representa al conjunto de todos los números reales comprendidos entre a y b, incluyendo los extremos: [a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Un intervalo semiabierto de extremos a y b puede ser (a, b] o [a, b):

(a, b] = {x / a < x ≤ b} (se excluye a y se incluye b)
[a, b) = {x / a ≤ x < b} (se incluye a y se excluye b)

Desigualdades

                                                        Desigualdades

Se dice que es una desigualdad cuando una cantidad es mayor o menor que otro, por unas variables o incógnitas  que se deben despeja.

Estas desigualdades tienen sus propiedades que son 4:Desigualdad de mismo sentido

1. Suma y resta de desigualdades
2. Multiplicaciones de desigualdades|
3. Producto de una desigualdad